Page 142 - 경제수학 교과서

예를 들어 함수 f(x)=x^2은 xge0에 속하는 x_1, x_2에 대하여

0lex_1<x_2일 때, 0le x_1< x_2일 때, x_1^2 < x_2^2
y
f(x_1)-f(x_2) y=x^2
=x_1^2-x_2^2 이므로 함수 f(x)는 이 구간에서 증가한다.
=(x_1-x_2)(x_1+x_2)<0
또 xle0에 속하는 x_1, x_2에 대하여
이므로 f(x_1)<f(x_2)이다.
감소 증가
x_1<x_2le0일 때, x_1^2>x_2^2
O x
이므로 함수 f(x)는 이 구간에서 감소한다.

한편 함수 f(x)가 어떤 구간의 모든 x에 대하여 f'(x)가 존재하면 도함수의 정의에

의하여
f(x+Deltx)-f(x)
f'(x)=$x~0
^
Deltx
이다.
|Deltx|가 충분히 작고 1 충분히 작은 양수 Deltx에 대하여 f'(x)>0이면 f(x+Deltx)-f(x) >0에서 Deltx>0
Deltx<0일 때도 성립한다. Deltx
이므로 f(x+Deltx)>f(x)이다.

즉 어떤 구간에 속하는 두 수 x, x+Deltx에 대하여

x < x+Deltx일 때, f(x) < f(x+Deltx)

가 성립하므로 함수 f(x)는 이 구간에서 증가한다.

f(x+Deltx)-f(x)
2 충분히 작은 양수 Deltx에 대하여 f'(x)<0이면 <0에서 Deltx>0
Deltx
이므로 f(x+Deltx)<f(x)이다.
즉 어떤 구간에 속하는 두 수 x, x+Deltx에 대하여

x < x+Deltx일 때, f(x) > f(x+Deltx)

가 성립하므로 함수 f(x)는 이 구간에서 감소한다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

함수의 증가와 감소

함수 f(x)가 어떤 구간의 모든 x에 대하여 f'(x)가 존재하고, 이 구간에 속하는 모든
x에 대하여
➊ f'(x)>0이면 f(x)는 이 구간에서 증가한다.

➋ f'(x)<0이면 f(x)는 이 구간에서 감소한다.

함수 f(x)가 어떤 구간에 일반적으로 위의 역은 성립하지 않는다. 예를 들어 함수 f(x)=x^3은 모든 실수 x에 대
서 증가한다고 해서 항상
f'(x)>0인 것은 아니다. 하여 증가하지만 f'(x)=3x^2에서 f'(0)=0이다.

140 Ⅳ . 미분과 경제

경제수학_2차제출본.indb 140 2021-07-08 오후 6:01:42