Page 143 - 경제수학 교과서

함께 하기 1 함수 f(x)=x^3-3x+1의 증가와 감소를 조사하시오.

풀이 함수 f(x)=x^3-3x+1에서

f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)
f'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
f'(x)의 부호를 조사하여 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x ⋯ -1 ⋯ 1 ⋯

f'(x) + 0 - 0 +
표에서 ↗는 증가를 나타
내고, ↘는 감소를 나타 f(x) ↗ 3 ↘ -1 ↗
낸다.
따라서 함수 f(x)는 xle-1, xge1에서 증가하고, -1lexle1에서 감소한다.

답 풀이 참조

스스로 하기 1 다음 함수의 증가와 감소를 조사하시오.

(1) f(x)=x^3+6x^2+9x+1 (2) f(x)=-2x^3-3x^2+12x+5

함수의 극대와 극소는 무엇일까?

두 실수 a, b(a<b)에 대 함수 f(x)에 대하여 x=a를 포함하는 어떤 열린 구간에 y 극대 y=f(x)
하여 {x|a<x<b}를 열린
속하는 모든 x에 대하여 f(a)
구간, {x|alexleb}를 닫
힌 구간이라고 한다.
f(x)lef(a)
a x
O
이면 함수 f(x)는 x=a에서 극대라 하고, f(a)를 극댓값이라
고 한다.
y
또 x=a를 포함하는 어떤 구간에 속하는 모든 x에 대하여 y=f(x)
극소
f(x)gef(a) f(a)
극댓값이 극솟값보다 항상 이면 함수 f(x)는 x=a에서 극소라 하고, f(a)를 극솟값이라
큰 것은 아니다. O a x
고 한다.
y 극대
y=f(x)
극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 한다. y y=x^3
극대 극소
함수 f(x)가 x=a에서 f'(x)가 존재하고 x=a에서 극값을
극소
O x 가지면 f'(a)=0이다.
O x
그러나 일반적으로 위의 역은 성립하지 않는다. 예를 들어 함수
f(x)=x^3은 f'(0)=0이지만 x=0에서 극값을 갖지 않는다.

1. 미분 141

경제수학_2차제출본.indb 141 2021-07-08 오후 6:01:42