Page 144 - 경제수학 교과서

이제 도함수 f'(x)의 부호를 조사하여 함수 f(x)의 극대, 극소를 판정해 보자.
어떤 구간의 모든 x에 대하여 함수 f(x)의 도함수 f'(x)
f'(a)=0
가 존재할 때,
극대
f'(x)>0 f'(x)<0
1 f'(a)=0이고 x=a의 좌우에서 f'(x)의 부호가 양에

서 음으로 바뀌면 함수 f(x)는 x=a의 좌우에서 증가 y=f(x)
a x
하다가 감소하므로 x=a에서 극대이다.
y=f(x)
어떤 구간의 모든 x에 대 2 f'(a)=0이고 x=a의 좌우에서 f'(x)의 부호가 음에
하여 f'(x)<0 f'(x)>0
서 양으로 바뀌면 함수 f(x)는 x=a의 좌우에서 감소 극소
x=a에서 극대이면
f(x)≤f(a) 하다가 증가하므로 x=a에서 극소이다. f'(a)=0
이고, x=a에서 극소이면
a x
f(a)≤f(x)
이다. 이상을 정리하면 다음과 같다.

함수의 극대와 극소의 판정
어떤 구간의 모든 x에 대하여 함수 f(x)의 도함수 f'(x)가 존재할 때, f'(a)=0이고

x=a의 좌우에서
➊ f'(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극대이다.

➋ f'(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극소이다.

함께 하기 2 함수 f(x)=x^3-12x+4의 극값을 구하시오.

f'(x)=0인 x의 값을 구 풀이 함수 f(x)=x^3-12x+4에서 f'(x)=3x^2-12=3(x+2)(x-2)
하고, 그 값의 좌우에서
f'(x)의 부호를 생각한다. f'(x)=0에서 x=-2 또는 x=2

f'(x)의 부호를 조사하여 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x ⋯ -2 ⋯ 2 ⋯
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 20 ↘ -12 ↗

따라서 함수 f(x)는 x=-2에서 극대이고 극댓값은 20, x=2에서 극소이고 극솟값

은 -12이다.
답 극댓값: 20, 극솟값:-12

스스로 하기 2 어느 공장의 노동량 L에 대한 생산함수가 Q(L)=-L^3+3L^2+24L일 때,
이 함수의 극값을 구하시오.(단, L≥0)

142 Ⅳ . 미분과 경제

경제수학_2차제출본.indb 142 2021-07-08 오후 6:01:43