Page 68 - 경제수학 교과서

1년을 똑같이 두 번으로 나누어 6개월마다 ;2%; %의 복리를 적용하면 1년 후의 원리합계는

. 005 2
10,000 1+ k =10,506 (원)
a
2

이고, 1년을 똑같이 네 번으로 나누어 ;4%; %의 복리를 적용하면 1년 후의 원리합계는

. 005 4
10,000 1+ k =10,509 (원)
a
4
이다. 이를 더 세분화하여 월별, 일별로 복리를 적용하는 경우까지 포함하면 다음 표와

같다.

복리 빈도(m) 복리 빈도 투자 금액 1만 원의 1년 후 가치 (연이율 5%)
복리 빈도 m은 일정 기간
연별 (m=1) 10,500 원
안에 이자를 지급하는 횟
수이다. 6개월별 (m=2) 10,506 원
분기별 (m=4) 10,509 원
월별 (m=12) 10,512 원
일별 (m=365) 10,513 원

그러면 복리 빈도를 한없이 크게 했을 때의 미래가치를 구해 보자.

A원을 연이율 r로 연간 1회 복리를 적용하면 n년 후 A원의 미래가치는 A(1+r)^n이고,
r mn
`
연이율 r를 1년 동안 m회 연이율 r로 연간 m회 복리를 적용하면 n년 후 A원의 미래가치는 A 1+ m j 이다.
지급하면 1회 적용되는 이
r 여기서 복리 빈도 m을 한없이 크게 했을 때의 복리를 연속 복리라고 한다. 이때
율은 이다.
m
r mn r m $ rn
A 1+ j = A 1+ j r
`
`
m m
r m r
`
m =t 이라 하면 이고, 자연상수 e의 정의에 의하여 m을 한없이 크게 하면 1+ j 의 값은 e이므로
r m
r = 1 이다. 또 m이 r m r $ rn
`
m t A 1+ m j =Ae^r^n …… ㉠
한없이 커지면 t 도 한없이
커지므로 으로 나타낼 수 있다.
r m r 1 t
1+ l = 1+ l
b
b
m t
이때 ㉠은 A원을 n년 동안 연이율 r의 연속 복리 기준으로 계산한 미래가치이다.
=e
m
b 1+ r l r $ rn 이상을 정리하면 다음과 같다.
m
m rn
r
b (
= 1+ r l 2 자연상수 e와 연속 복리
m
=e^r^n 1 n
➊ 자연수 n의 값이 한없이 커지면 1+ k 의 값은 어느 일정한 값에 가까워짐이 알

a
n
려져 있고, 그 일정한 값을 자연상수 e라고 한다.

➋ 복리 빈도를 한없이 크게 했을 때의 복리를 연속 복리라고 하고, A원을 n년 동안
연이율 r의 연속 복리 기준으로 계산한 미래가치는 Ae^r^n이다.
66 Ⅱ. 수열과 금융

경제수학_2차제출본.indb 66 2021-07-08 오후 5:53:57