Page 76 - 경제수학 교과서

주기초 연금의 현재가치는 어떻게 계산할까?

주기초 연금에서의 주기 현재를 연초라 하고 1년마다 연이율 r의 복리를 적용할 때, 올해 초부터 매년 초에
주기초 연금에서의 주기는
보통 1년을 단위로 하지만 A원씩 n년 동안 받는 주기초 연금의 현재가치를 등비수열의 합을 이용하여 구해 보자.
월, 3개월, 6개월 등을 단
위로 할 수 있다.
아래 그림은 1년마다 연이율 r의 복리를 적용하여 매년 초에 A원씩 n년 동안 받는 연
금의 시점 0에서의 현재가치를 나타낸 것이다.

0 1 2 3 ⋯ n-1 n (년)

A
A A
1+r

A A
(1+r)^2
A A
(1+r)^3
⋯ ⋯

A A
(1+r)^n^-^1

위의 그림에서 주기초 연금의 현재가치를 A_0이라 하면

A A A A
A_0=A+ + + + cdot + …… ㉠
1+r (1+r)^2 (1+r)^3 (1+r)^n^-^1

1
이고, ㉠은 첫째항이 A, 공비가 인 등비수열의 제n항까지의 합이므로
1+r

1 ^n
 
Atime 1-  
A_0= 1+r = A(1+r){1-(1+r)^-^n}
1 r
1-
1+r
이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

주기초 연금의 현재가치
현재를 연초라 하고 1년마다 연이율 r의 복리를 적용할 때, 올해 초부터 매년 초에 A원
씩 n년 동안 받는 주기초 연금의 현재가치를 A_0이라 하면

A(1+r){1-(1+r)^-^n}
A_0=
r

74 Ⅱ. 수열과 금융

경제수학_2차제출본.indb 74 2021-07-08 오후 5:54:07