Page 124 - 인공지능 수학 교과서

➌ 이차함수의 미분계수의 뜻

▶ 기호 f'(a)는 이차함수 y=f(x)의 그래프 위의 점 P(t, f(t))에서 접하는 접선의 기울기를 이차함
‘f prime a’라고 읽는다.
수 y=f(x)의 x=t에서의 미분계수라 하고 기호로 f'(t)와 같이 나타낸다.

[보기] 이차함수 f(x)=(x-2)^2+1의 그래프 위에 x 좌표가 각각 0, y f(x)=(x-2)Û`+1
A
▶ f'(0)<f'(1)<0, 1, 2, 3, 4인 점 A, B, C, D, E에서 그은 접선이 그림과 같다. 5 E
f'(2)=0,
미분계수 f'(0), f'(1), f'(2), f'(3), f'(4)는 각각 다섯 개의 점
0<f'(3)<f'(4)
A, B, C, D, E를 접점으로 하는 접선의 기울기를 의미하므로 2 B
C D
▶ 꼭짓점 C에서 이차함수 f'(0)<f'(1)<f'(2)<f'(3)<f'(4) 임을 알 수 있다. 1
는 최소가 되고, 그 점에
O 1 2 3 4 x
서의 미분계수 f'(2)=0
이다.
➍ 이차함수의 미분계수의 계산
f(x)=axÛ`+bx+c
그림과 같이 이차함수 f(x)=ax^2+bx+c의 그래프
Q
위의 서로 다른 두 점 P(t, f(t)), Q(t+h, f(t+h))를

지나는 직선의 기울기는
P
▶ 식 ➊은 직선 PQ의 기울
기를 의미하며 ‘평균변화 f(t+h)-f(t) = f(t+h)-f(t) 식 ➊
율’이라고도 한다. (t+h)-t h t t+h x
식 ➋는 점 P에서 그은
곡선 y=f(x)의 접선의
이므로 이차함수 y=f(x)의 x=t에서의 미분계수 f'(t)는
기울기를 의미하며 ‘순간
변화율’이라고도 한다.
f(t+h)-f(t)
f'(t)= ^h~0 식 ➋
h
a(t+h)^2+b(t+h)+c-(at^2+bt+c)
= ^h~0
h
▶ ^h~0(ah+2at+b)의 ah^2+(2at+b)h
= ^h~0 = ^h~0(ah+2at+b)=2at+b
극한값은 h에 0을 대입 h
하면 a×0+2at+b
=2at+b가 된다.
이다. 따라서 x에 대한 이차함수 f(x)=ax^2+bx+c에 대하여 x=t에서의 미분계수는
f'(t)=2at+b (단, t는 상수)이다.

예제 4

곡선 y=2(x-1)^2+3 위의 점 (3, 11)에서의 접선의 기울기를 구하시오.

풀이 f(x)=2(x-1)^2+3으로 놓으면 f(x)=2x^2-4x+5에서

f'(t)=2×2×t+(-4)=4t-4
따라서 구하는 접선의 기울기는 f'(3)=4×3-4=8 답 8

문제 4 이차함수 f(x)=x^2-x+1 위의 점 (-1, 3)에서의 접선의 기울기를 구하시오.

122 Ⅳ. 최적화